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概率

基础概念

定义

设样本空间为\(\Omega\)，若对于\(\Omega\)中的每一个随机事件\(A\)，都存在实值函数\(P(A)\)，满足：

\(1.\) \(P(A)\geq0\)

\(2.\) \(P(\Omega)=1\)

\(3.\) 对于若干个两两互斥事件\(A_1,A_2,...,A_n\)，有\(\sum_{i=1}^n P(A_i)=P(\bigcup_{i=1}^n A_i)\)

则称\(P(A)\)为随机事件\(A\)发生的概率。

必然事件

一定发生的事件称为必然事件，也就是样本空间\(\Omega\)。

不可能事件

一定不发生的事件成为不可能事件，记为\(\emptyset\)。

事件包含

如果事件\(A\)发生必然导致事件\(B\)发生，则称事件\(B\)包含事件\(A\)，记为\(A\subset B\)或\(B\supset A\)。

事件的并

如果事件\(A\)和事件\(B\)至少有一个发生，则称这个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的并，记为\(A\cup B\)

事件的交

如果事件\(A\)和事件\(B\)同时发生，则称这个事件为事件\(A\)与事件\(B\)的交，记为\(A\cap B\)

事件的差

如果事件\(A\)，发生而事件\(B\)不发生，则称该事件为事件\(A\)与事件\(B\)的差，记为\(A-B\)。

互斥事件

若事件\(A\)与事件\(B\)不能同时发生，即\(A\cap B=\emptyset\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)为互斥事件。

对立事件

若事件\(A\)与事件\(B\)有且仅有一个必然发生，即\(A\cup B=\Omega\)，\(A\cap B=\emptyset\)，则称事件\(A\)与事件\(B\)为对立事件。事件\(B\)称为事件\(A\)的逆事件，记为\(\overline A\)，事件\(A\)也称为事件\(B\)的逆事件，记为\(\overline B\)。

进阶知识

条件概率

设\(A\)，\(B\)为\(\Omega\)中的两个事件，且\(P(A)>0\)，则\(P(A\cap B)/P(A)\)为事件\(A\)发生的情况下事件事件\(B\)发生的概率，记为\(P(B|A)\)。

全概率公式

设样本空间为\(\Omega\)，事件\(A_1,A_2,...,A_n\)满足：

\(1.\) 两两互斥

\(2.\) \(\sum_{i=1}^nP(A_i)=\Omega\)

\(3.\) \(\forall\ i\in[1,n],P(A_i)>0\)

则称\(A_1,A_2,...,A_n\)为\(\Omega\)的一个划分。

若\(A_1,A_2,...,A_n\)为样本空间\(\Omega\)的一个划分，\(B\)为样本空间中的一个随机试验，则有：

\[P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)\]

证明：

\[P(B)=\sum_{i=1}^nP(B\cap A_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)\]

全概率公式的推论

设\(\Omega\)为样本空间，\(A_1,A_2,...,A_n\)为\(\Omega\)中互斥的\(n\)个事件，\(B\)为一个随机试验，且满足\(\forall\ i\in[1,n],B\subset A_i\)，则有：

\[P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)\]

数学期望

定义

若随机变量\(X\)的取值有\(x_1,x_2,...\)，一个随机事件可以表示为\(X=x_i\)，其概率为\(P(X=x_i)=p_i\)，则称\(E(X)=\sum x_ip_i\)为随机变量\(X\)的数学期望。

简单地说，数学期望即为一个随机变量的取值与其概率的乘积之和。

性质

数学期望是线性函数，满足\(E(aX+bY)=a* E(X)+b*E(Y)\)

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